Em cena do livro “Tom Sawyer abroad”, do escritor Mark Twain, os amigos Tom e Huck estão perdidos enquanto sobrevoam os Estados Unidos em um balão. “Estamos em Illinois, ainda não avistamos Indiana”, sustenta Huck, explicando: “eu sei pela cor”.

“Pela cor?” espanta-se Tom, “O que a cor tem a ver?”.

“Tudo a ver!”, responde Huck. “Indiana é rosa e Illinois é verde. E lá em baixo é tudo verde.”

“Indiana é rosa?! Que bobagem!”, indigna-se Tom.

“Bobagem não senhor”, retruca Huck, “eu vi no mapa, é rosa sim!”

Mal-humorado, Tom tenta explicar que a cor no mapa não quer dizer nada, mas Huck não se deixa convencer…

A regra básica ao colorir um mapa é que regiões adjacentes, ou seja, que têm algum segmento de fronteira comum, devem ser assinaladas com cores diferentes, para distingui-las. Em 1852, o matemático e botânico sul-africano Francis Guthrie (1831-1899) estava colorindo o mapa dos condados da Inglaterra e notou que três cores não eram suficientes, mas quatro cores sim. Ficou curioso de saber se todo mapa, natural ou inventado, poderia ser colorido com apenas quatro cores.

Intrigado, levou a questão ao grande lógico britânico Augustus De Morgan (1806-1871), o qual não soube responder e, inclusive, acreditava que não houvesse resposta matemática: “estou plenamente convencido de que não é suscetível de demonstração e deve ser aceito como um postulado”.

O problema foi popularizado por De Morgan e por Guthrie, tornando-se conhecido como “conjectura das quatro cores”.

Alguns anos depois, parecia que o assunto ia ser encerrado. Em 1879, o britânico Alfred Kempe  (1849-1922) publicou uma prova matemática de que quatro cores realmente bastam para todo mapa e, no ano seguinte, o escocês Peter Tait (1831-1901) deu uma prova alternativa.

Só que, em 1890, o também britânico Percy Heawood (1861-1955) encontrou um erro grave no argumento de Kempe, e o dinamarquês Julius Petersen (1839-1910) fez o mesmo com a prova de Tait no ano seguinte. De volta à estaca zero!

Felizmente, Heawood conseguiu salvar alguma coisa. Ele provou que cinco cores são suficientes para colorir qualquer mapa, e essa prova está correta. Mas como ninguém conseguiu exibir um mapa que realmente precise das cinco cores, a situação era muito insatisfatória. Assim, a conjectura das quatro cores continuou a ser um desafio intrigante durante décadas.

Em 1905, o alemão Hermann Minkowski (1864-1909) declarou a seus alunos que o problema continuava em aberto “apenas porque só matemáticos de terceira classe se interessaram por ele”, acrescentando confiante, “acho que sei resolver”.

Mas, ao final da aula, ainda não tinha conseguido e continuou fracassando durante semanas, até que desistiu. “Os céus estão zangados com a minha arrogância, a minha prova também está errada”, confessou.

A situação mudou em 1976, quando os matemáticos Kenneth Appel (1932-2013, norte-americano) e Wolfgang Haken (nascido na Alemanha, em 1928) publicaram a primeira prova correta da conjectura das quatro cores.

Em homenagem a essa façanha, o departamento de matemática da Universidade de Illinois, onde os dois trabalhavam, passou a carimbar “Quatro cores bastam” em sua correspondência.

Simplificando um pouco as coisas, Appel e Haken encontraram um certo conjunto especial (muito grande!) de mapas e mostraram, matematicamente, que se esses mapas pudessem ser coloridos com quatro cores, então o mesmo seria verdade para todos, tal como afirma a conjectura das quatro cores. 

A partir daí bastaria alguém verificar se os mapas nesse conjunto que eles tinham encontrado realmente podiam ser coloridos com quatro cores. O problema é que eram muitos mapas e a verificação era muito demorada. Humanos nunca conseguiriam realizar essa tarefa em tempo razoável.

É aí que entra a grande novidade da abordagem de Appel e Haken: eles usaram máquinas eletrônicas para fazer o trabalho. Foi o primeiro teorema importante provado com a assistência de computadores.

Mesmo com ajuda de máquinas, não foi fácil. A verificação demorou mais de mil horas de computação e gerou mais de 400 páginas de microfichas, que tiveram que ser conferidas à mão. Atualmente existem versões mais simples e curtas da demonstração, mas ainda assim demasiado longas para serem verificadas por humanos.

Demonstrações assistidas por computador tornaram-se muito comuns a partir do trabalho de Appel e Haken e ainda são insubstituíveis em muitos casos. Mas para os matemáticos elas são bastante insatisfatórias. Apenas sabermos que a conta dá certo não ajuda realmente a entender por que isso acontece. Demonstrações “assistidas por cérebro” são muito melhores!

Segue do que dissemos que o mapa dos estados brasileiros pode ser colorido usando não mais que quatro cores.

Mas será que nesse caso o leitor (ou seus filhos, sobrinhos, jovens primos etc) conseguem fazer a tarefa com apenas três cores? E com duas? Respostas são bem-vindas pelo e-mail viana.folhasp@gmail.com.



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