A posição de pessoas e objetos na superfície terrestre é dada por dois números, ambos medidos em graus. A latitude, que varia de 90° norte (no polo norte) a 90° graus sul (no polo sul), descreve a posição relativa ao equador. Já a longitude, que varia de 180° leste a 180° oeste, informa a posição em relação a um certo meridiano de referência.

A escolha desse meridiano é arbitrária. Atualmente usamos o do observatório de Greenwich, em Londres, mas a primeira pessoa que representou linhas de latitude e longitude em um mapa, o matemático e astrônomo greco-romano Ptolomeu (século 2°), preferia o meridiano das Ilhas Felizes, atual arquipélago da Madeira.

A latitude é fácil de calcular a partir da altura, com relação ao horizonte, de certas estrelas e constelações (estrela Polar, Cruzeiro do Sul) ou do próprio sol ao meio dia. Instrumentos de medição criados na antiguidade, tais como o astrolábio, foram aperfeiçoados pelos portugueses e outros navegadores, de tal forma que, ao final do século 16, o cálculo da longitude já tinha se tornado preciso e rotineiro.

A longitude é um problema muito mais delicado. Embora seja possível determiná-la a partir de fenômenos astronômicos, tais como os eclipses das luas de Júpiter, tais observações são muito difíceis sobre um navio em movimento. Assim, a longitude continuou sendo estimada no chute, com graves prejuízos para a navegação. 

Claro que foram propostas muitas soluções, tão inovadoras quanto ineficazes. No livro “A ilha do dia anterior”, o escritor italiano Umberto Eco (1932 – 2016) descreve uma das mais criativas, e mais cruéis.

Um cachorro ferido era embarcado no navio. A faca que causara o ferimento ficava em terra e, todo dia ao meio dia, era colocada no fogo. De acordo com as teorias do diplomata inglês Sir Kenelm Digby (1603 – 1665), arma e ferida permaneciam ligadas por uma “simpatia”: o fogo na faca causaria instantaneamente uma dor horrível no cachorro, mesmo longe. Pelos ganidos do bicho, os tripulantes do navio saberiam que era meio-dia no porto de partida, e com essa informação ficaria fácil calcular a longitude da embarcação. Só não podia deixar que a ferida cicatrizasse, reavivando-a sempre que necessário. Pobres cachorros, vítimas das superstições de Sir Kenelm e seus seguidores…

Dado o enorme interesse econômico, não é surpresa que tenham sido dedicados grandes esforços para resolver o problema da longitude. Nações de navegadores, como Portugal, Espanha e Países Baixos, ofereceram recompensas pela solução, mas esses prêmios nunca foram concedidos. Mais tarde, a França criaria um centro de pesquisa especificamente dedicado ao tema, o Bureau des Longitudes, que existe até hoje.

Em 1714, foi a vez de o parlamento inglês aprovar a famosa Lei da Longitude: “a descoberta da longitude é de tal importância para a Grã-Bretanha, para a segurança de sua marinha de guerra e de sua frota mercante que […] será criado um Prêmio da Longitude para a pessoa ou pessoas que descubram a longitude”.

O principal vencedor foi o inglês John Harrison (1693 – 1776), o qual construiu um relógio portátil, que funcionava bem mesmo sobre uma embarcação no mar. A partir daí os navios tinham como saber a qualquer momento a hora no porto de partida (sem precisar torturar animais!), o que basta para obter a longitude.

Harrison conseguiu outra façanha: receber o dinheiro do prêmio, embora só após quatro décadas de intrigas e disputas legais com as autoridades.

Tudo isto ficou obsoleto com o advento do GPS (global positioning system, ou sistema global de localização). Criado inicialmente pelas forças armadas dos Estados Unidos, com objetivos militares, o GPS colocou a navegação ao alcance de todos, no mar, em terra e no ar, tornando-se uma das aplicações mais incríveis da matemática no dia a dia.

O equipamento principal do GPS consiste de 24 satélites artificiais em órbita da Terra. Cada vez que um celular quer saber onde está, o que ele faz é se comunicar com esses satélites para se informar sobre as posições deles nesse momento. Cada posição é dada por três coordenadas (xi,yi,zi), onde o i representa o número do satélite.

O celular também calcula o tempo (ti) que demora para o sinal ir até o satélite e voltar. Dessa forma, como o sinal viaja à velocidade da luz, representada pela letra c, ele fica sabendo que a distância até o satélite é cti/2. Então, para calcular as coordenadas (x,y,z) do aparelho basta resolver as equações (x-xi)2+(y-yi)2+(z-zi)2 = (cti/2)2. O computador do celular faz isso num piscar de olhos.

A matemática nos diz que basta resolver quatro dessas equações, ou seja, o celular só precisa contatar quatro satélites.

Então, por que colocar 24 em órbita?

Primeiro, porque muitos dos satélites não estão visíveis: metade está sempre escondida do outro lado do planeta. Além disso, pode ser que algum esteja fora de serviço, por isso é importante ter alternativas.

Embora tenham aberto o GPS ao uso civil, os militares americanos não querem que todo mundo possa usá-lo com precisão total —por exemplo, para que terroristas não utilizem o sistema para dirigir seus mísseis (esse privilégio é exclusivo dos Estados Unidos!).

Por isso, eles produzem uma interferência no cálculo dos tempos ti de modo que o cálculo da posição (x,y,z) venha com certo erro. A matemática também ensina quanta interferência precisa ser produzida para provocar o erro desejado.



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